Превращение механической энергии при гармонических колебаниях. A. Затухающие колебания. §24 превращение энергии при гармонических колебаниях

Колебания – это любые процессы или движения, повторяющиеся через равные промежутки времени.

Свободные колебания возникают в системе под действием ее внутренних сил после выведения из положения равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний :

1 . После выведения системы из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть ее в положение равновесия;

2 . Трение и сопротивление в системе должно быть достаточно мало.

Гармонические колебания – это периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса.

Затухающие колебания – это колебания, происходящие при учете сил трения и сопротивления в системе.

Амплитуда колебания (А) - это модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.

Период колебания (Т) - это время одного полного колебания. Единица измерения – [c].

T = t /N , где t – время, N – число колебаний.

Частота колебаний (ν) – это число колебаний в единицу времени.

Единица измерения – [Гц].

Циклическая (круговая) частота (ω 0) – это число колебаний за 2π секунд. Единицы измерения - [рад/c]. ω 0 = 2π ν = 2π/Т.

Уравнение гармонических колебаний x = A sin (ω 0 t + φ 0), x = A cos (ω 0 t + φ 0),

φ - начальная фаза (единицы измерения- [рад]).

Примеры гармонических колебаний служат колебания математического и пружинного маятников.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на длинной невесомой нерастяжимой нити. Схема сил, действующих на математический маятник, показана на рисунке.

F = F т + F упр

Для математического маятника циклическая частота

колебаний ω 0 = √g/l

период колебаний Т = 2π√l/g,

где l – длина нити,

g – ускорение свободного падения.

Пружинный маятник – это тело массой m, колеблющегося на пружине с коэффициентом жесткости k. Для пружинного маятника

циклическая частота колебаний ω 0 = √k / m ,

период колебаний Т = 2π√m / k.

При последовательном соединении пружин, общий коэффициент жесткости

к общ = (k 1 ∙ k 2) /(k 1 + k 2).

При параллельном соединении пружин, общий коэффициент жесткости k общ = k 1 + k 2 .

Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях:

Е max пот = Е пот + Е кин = Е max кин;

где Е max пот - максимальная потенциальная энергия,

Е пот - потенциальная энергия,

Е кин – кинетическая энергия,

Е max кин - максимальная кинетическая энергия.

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней, периодически действующей силы. Для вынужденных колебаний характерно явление резонанса.

Резонанс – это резкое возрастание амплитуды

вынужденных колебаний при совпадении

частоты действия внешней силы с частотой

собственных колебаний системы.

Увеличение амплитуды вынужденных

колебаний при резонансе выражено тем

отчетливее, чем меньше трение в системе.

Кривая 2 на рисунке соответствует

большему трению в системе,

кривая 1 – меньшему трению. Рис. 14.12

Автоколебаниями называются колебания, являющиеся незатухающими из-за наличия нутри системы источника энергии. Системы, в котором существуют автоколебания, называются автоколебательными системами. При этом подача энергии к колебательной системе регулируется самой системой с помощью регулятора по каналу обратной связи.

Механические колебания распространяются в упругих средах. Если какая – либо частица среды начинает колебаться, то из-за взаимодействия между частицами среды колебания начинают распространяться во все стороны, следовательно возникает волна.

Волна – это колебания, распространяющиеся в пространстве с течением времени.

Волна называется продольной , если колебания частиц происходит вдоль направления распространения волны. Продольные волны могут распространятся в твердой, жидкой и газообразной среде.

Волна называется поперечной , если колебания частиц происходят перпендикулярно направлению распространению волны. Поперечные волны могут распространяться только в твердой среде.

Длина волны (λ) – это расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах. За один период волна распространяется в пространстве на расстояние, равное длине волны.

Рассмотрим процесс превращения энергии при гармоническом колебательном движении на примере идеального (F тр =0) горизонтального пружинного маятника. Выводя тело из положения равновесия, например сжимая пружину на х=А, мы сообщаем ему некоторый запас потенциальной энергии \(~W_{n_{0}} = \frac{kA^2}{2}\) (горизонтальный уровень, на котором находится маятник, выбираем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии маятника в поле силы тяжести, тогда W п = 0). При движении тела к положению равновесия его потенциальная энергия \(W_n = \frac{kx^2}{2}\) убывает, а кинетическая \(W_k = \frac{m \upsilon^2}{2}\) возрастает, так как деформация пружины уменьшается, а скорость движения тела увеличивается. В момент прохождения телом положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая \(W_{k_{0}}=\frac{m \upsilon^2_max}{2}\) - максимальна. После прохождения положения равновесия скорость тела уменьшается, а пружина растягивается. Следовательно, кинетическая энергия тела убывает, а потенциальная - возрастает. В точке максимального отклонения тела его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная - максимальна. Таким образом, при колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Полная механическая энергия пружинного маятника равна сумме его кинетической и потенциальной энергий \(W = W_k + W_n.\)

Если смещение материальной точки, совершающей гармонические колебания, изменяется с течением времени по закону \(~x = A \cos \omega t,\) то проекция скорости на ось х \(~\upsilon_x = -\omega A \sin \omega t\) (см. § 13.2). Следовательно, кинетическая энергия в любой момент времени может быть задана функцией \(W_k = \frac{m \upsilon^2}{2} = \frac{m \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{4}(1- \cos 2 \omega t),\) а потенциальная энергия - функцией \(W_n = \frac{k x^2}{2} = \frac{ k A^2 \cos^2 \omega t}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{4}(1+ \cos 2 \omega t) ,\) так как \(\omega^2 = \frac{k}{m}\), то \(~k = m \omega^2.\)

Полная энергия \(W = \frac{m \omega^2 A^2 \sin^2 \omega t}{2} + \frac{m \omega^2 A^2 \cos^2 \omega t}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{2} = \frac{kA^2}{2}.\)

Из этих формул видно, что W к и W п изменяются тоже по гармоническому закону, с одинаковой амплитудой \(\frac{m \omega^2 A^2}{4}\) и в противофазе друг с другом и с частотой \(~2 \omega\) (рис. 13.13), а полная механическая энергия не изменяется со временем. Она равна либо потенциальной энергии тела в момент максимального отклонения, либо его кинетической энергии в момент прохождения положения равновесия:

\(W = \frac{kA^2}{2} = \frac{m \upsilon^2_m}{2} = \frac{m \omega^2 A^2}{2}.\)

В реальных условиях на маятник всегда действуют силы сопротивления, поэтому полная энергия уменьшается, и свободные колебания маятника с течением времени затухают, т.е. их амплитуда уменьшается до нуля (рис. 13.14).

Превращение энергии при колебательном движении.

Затухающие колебания

Тип урока : комбинированный.

Задачи урока:

Образовательная: Изучить возможные превращения энергии в колебательных системах. Подтвердить справедливость закона сохранения механической энергии в колебательных системах. Понять взаимосвязь физических величин при колебательном процессе.

Воспитательная : внести максимализм в мотивы социального поведения для достижения определенной цели посредством решения экспериментальных задач.

Развивающая : развитие некоторых элементов умственной деятельности: умение выдвигать гипотезы, умение проверять гипотезы, наблюдать, делать выводы.

Оборудование к уроку: математический маятник, пружинный маятник, штатив, линейка, секундомер.

План урока:

Ход урока:

I. Проверка домашнего задания, повторение

1. Что называется амплитудой, периодом колебания, частотой колебания? Какой буквой обозначается и в каких единицах измеряется каждая из этих величин?
2. Что такое полное колебание?
3. Какая математическая зависимость существует между периодом и частотой колебания?
4. Как найти период математического маятника?
5. От чего зависит период пружинного маятника?
6. Как направлены по отношению друг к другу скорости двух маятников в любой момент времени, если эти маятники колеблются в противоположных фазах; в одинаковых фазах?
7. Какие колебания называются гармоническими?
8. Как меняются действующая на тело сила, его ускорение и скорость при совершении им гармонических колебаний?

II. Новый материал

Рассмотрение нового материала удобно начать с показа колебаний грузов, закрепленных на нитях. Для наглядности удобно взять нити равной длины, а грузы - разной формы. Например, шарик и тонкую пластинку.

Легко заметить, что колебания во второй системе будут затухать быстрее, чем в первой (рис. 1).

Видно, что полная механическая энергия быстрее убывает во второй системе. Почему? Ясно, что любая колебательная система будет совершать колебания до тех пор, пока обладает энергией. Отводя маятник от положения равновесия, мы сообщаем системе начальную энергию (рис. 1). Она равна потенциальной энергии тела: Е п = mgh.

Рис. 1

Отпустив маятник, мы видим, что скорость тела возрастает, а значит, возрастает и его кинетическая энергия. Из закона сохранения механической энергии уменьшение потенциальной энергии

приводит к эквивалентному увеличению кинетической энергии. Для любой точки траектории, если в системе нет сил трения, справедливо:

т.е.

Если тело находится в крайних положениях, система обладает полной энергией Е, определяемой только потенциальной энергией. А в положении равновесия полная энергия равна максимальной кинетической энергии груза:

Важно понять, что составляющие полной энергии Е к и Е р не просто изменяются во времени, а изменяются периодически с заданным периодом колебаний в системе. Период изменения Е к и Е р в2 раза меньше периода колебаний Т.

Обычно реальные системы обладают собственным трением, и присутствует сила сопротивления среды.

Поэтому колебания в таких системах являются затухающими: полная механическая энергия начинает уменьшаться, т.к. уходит на преодоление сил трения. Следовательно, амплитуда колебаний уменьшается, и, когда работа силы трения становится равна по модулю исходной полной энергии в системе, колебания прекращаются.

Но на колебательную систему может действовать периодическая внешняя сила. Такая сила называется вынуждающей силой.

Тряска автомобиля, движущегося по неровной дороге, движение качелей, которые кто-то периодически подталкивает - все это вынужденные колебания.

Свободные колебания с течением времени затухают. Поэтому на практике чаще используются не свободные колебания, а вынужденные. Наиболее широко они применяются в различных вибрационных машинах.

3. Закрепление и обобщение изученного: Решение экспериментальной задачи.

Обучающимся предлагается экспериментальная задача: перед ними устанавливается пружинный маятник, масса груза известна. Дается линейка, секундомер.

Задание: с помощью подручных средств и полученных знаний узнать всё, что только возможно .

Все происходит в виде игры: ученики по-очереди выходят к доске и показывают вычисление любой из величин. Последний выступающий получает существенный бонус в виде внеочередной отличной оценки.

Варианты измерений и вычислений:

Амплитуда, период, частота, жесткость пружины, кинетическая и потенциальная энергия в нижней точке, в верхней точке, в середине движения. Полная механическая энергия. Сила тяжести грузика, сила упругости в различных точках. Скорость грузика в различных точках, путь за период и др.

III. подведение итогов

Обсуждение вопросов

процесс превращения энергии при гармоническом колебательном движении на примере пружинного маятника.

1. Почему свободные колебания маятника затухают? При каких условиях колебания могут стать незатухающими?
2. Чем определяется частота свободных колебаний? Почему ее называют собственной частотой колебательной системы?
3. В каких машинах применяются вынужденные колебания?

Домашнее задание: §28, §28, Упражнение 25.

Механическими колебаниями называют движения тела, повторяющиеся точно или приблизительно через одинаковые промежутки времени. Основными характеристиками механических колебаний являются: смещение, амплитуда, частота, период. Смещение - это отклонение тела от положения равновесия. Амплитуда - модуль максимального отклонения от положения равновесия. Частота - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Период - время одного полного колебания, т. е. минимальный промежуток времени, через который происходит повторение процесса. Период и частота связаны соотношением: v = 1/Т. Простейший вид колебательного движения - гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса (рис. 9). Свободными называют колебания, которые совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на систему, совершающую колебания. Например, колебания груза на нити (рис. 10). Рассмотрим процесс превращения энергии на примере колебаний груза на нити (см. рис. 10). При отклонении маятника от положения равновесия он поднимается на высоту h относительно нулевого уровня, следовательно, в точке А маятник
обладает потенциальной энергией mgh. При движении к положению равновесия, к точке О, уменьшается высота до нуля, а скорость груза увеличивается, и в точке О вся потенциальная энергия mgh превратится в кинетическую энергию mv^2/2. В положении равновесия кинетическая энергия имеет максимальное значение, а потенциальная энергия минимальна. После прохождения положения равновесия происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, скорость маятника уменьшается и при максимальном отклонении от положения равновесия становится равной нулю. При колебательном движении всегда происходят периодические превращения его кинетической и потенциальной энергии.
При свободных механических колебаниях неизбежно происходит потеря энергии на преодоление сил сопротивления. Если колебания происходят под действием периодической внешней силы, то такие колебания называют вынужденными. Например, родители раскачивают ребенка на качелях, поршень движется в цилиндре двигателя автомобиля, колеблются нож электробритвы и игла швейной машины. Характер вынужденных колебаний зависит от характера действия внешней силы, от ее величины, направления, частоты действия и не зависит от размеров и свойств колеблющегося тела. Например, фундамент мотора, на котором он закреплен, совершает вынужденные колебания с частотой, определяемой только числом оборотов мотора, и не зависит от размеров фундамента.

При совпадении частоты внешней силы и частоты собственных колебаний тела амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Такое явление называют механическим резонансом. Графически зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты действия внешней силы показана на рисунке 11.
Явление резонанса может быть причиной разрушения машин, зданий, мостов, если собственные их частоты совпадают с частотой периодически действующей силы. Поэтому, например, двигатели в автомобилях устанавливают на специальных амортизаторах, а воинским подразделениям при движении по мосту запрещается идти «в ногу».
При отсутствии трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна возрастать со временем неограниченно. В реальных системах амплитуда в установившемся режиме резонанса определяется условием потерь энергии в течение периода и работы внешней силы за то же время. Чем меньше трение, тем больше амплитуда при резонансе.