Далее конструируете развертку додекаэдра с учетом припусков на склеивание. Он и станет основой фигуры. Народные умельцы изготавливают из цветной или белой бумаги необыкновенные по красоте оригами в виде ажурных додекаэдров, а из картона делают оригинальные и прочее).
Самый первый этап в изготовлении – построение пятиугольника нужного размера. Первое знакомство детей с бумажным моделированием всегда начинается с простых геометрических фигур, таких как кубик и пирамида. Итак, начнём! Скачайте развёртки всех фигур на пяти листах и распечатайте на плотной бумаге. И ещё одна забавная пирамидка из пяти граней, её развёртки на 4-ом листе в виде звёздочки в двух экземплярах.
В книге приводятся трафареты и шаблоны для вырезания из бумаги составных частей будущей модели (заготовок), а также даются схемы соединения частей между собой и таблицы раскраски.
Затем вводится понятие звездчатых форм, трехмерный калейдоскоп, анализируются принципы построения звездоформ и рассматриваются соответствующие бумажные модели. Завершается книга математическим определением и изготовлением моделей всех невыпуклых однородных многогранников, в том числе очень сложных «курносых» моделей. В нашей стране весомый вклад в изготовление и популяризацию бумажных моделей многогранников внесла Гончар Валентина Васильевна, архитектор и руководитель кружка бумажного моделирования.
В таблице ниже для примера даны ссылки на соответствующие трафареты и фотографии бумажных моделей сайта www.korthalsaltes.com. Другое направление, развитое Валентиной Васильевной — создание моделей многогранников в технике оригами (в идеале, без использования клея и ножниц).
Развёртки геометрических фигур
Вплотную к созданию моделей многогранников из бумаги примыкает искусство кусудамы, т.е. создание красивых цветных шаров из бумаги. В 2011 году издательство «Многогранники» поставило изготовление многогранников из бумаги на надежные коммерческие рельсы. Каждый набор посвящен конкретному многограннику и содержит вырезанные и подогнанные детали, а также инструкции по изготовлению.
И всякий раз, когда смежные грани окрашиваются в одинаковый цвет, можно упростить изготовление модели, уменьшив количество заготовок и клеевых соединений. Додекаэдром называется правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.
Свое название конструкция получила по количеству входящих в нее граней (традиционно древние греки давали многогранникам имена, отображающие число граней, составляющих структуру фигуры). Таким образом, понятие «додекаэдр» образовано из значений двух слов: «додека» (двенадцать) и «хедра» (грань). Звездчатые додекаэдры имеют более сложную конструкцию по сравнению с обычными. Эти многогранники подразделяются на малый (первого продолжения), средний (второго продолжения) и большой (последняя звездчатая форма правильного додекаэдра).
Как сделать правильный додекаэдр своими руками
Для работы Вам потребуются те же материалы и инструменты, что и для изготовления стандартного додекаэдра. Строите схему основной детали нужных размеров с необходимыми припусками. По обозначенным линиям сгибаете, в том числе не забываете о припусках. Икоси» означает двадцать, «хедра» — означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник).
Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Икосаэдр имеет центр симметрии — центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. Представляем Вашему вниманию два варианта окраски икосаэдра с использованием пяти цветов. Займитесь сами и научите своих детей клеть эти «азы» моделирования по готовым развёрткам. Для начала я, конечно же, предлагаю научиться клеить обычный кубик. Развёртки сделаны для двух кубиков, большого и маленького.
Сегодня конструкция данной фигуры нашла свое отображение во многих вариантах художественного творчества, архитектуре и строительстве. Фигура относится к одному из пяти Платоновых тел (наряду с тетраэдром, октаэдром, гексаэдром (кубом) и икосаэдром). Хорошо иметь тупой нож или какое-либо приспособление для загибания припусков, но если их нет, то вполне подойдет металлическая линейка или те же ножницы.
Большой выбор развёрток простых геометрических фигур.
Первое знакомство детей с бумажным моделированием всегда начинается с простых геометрических фигур, таких как кубик и пирамида. Не у многих получается склеить кубик с первого раза, иногда требуется несколько дней, чтобы сделать поистине ровный и безупречный куб. Более сложные фигуры цилиндр и конус требуют в несколько раз больше усилий нежели простой кубик. Если вы не умеете аккуратно клеить геометрические фигуры, значит и за сложные модели вам ещё рано браться. Займитесь сами и научите своих детей клеть эти «азы» моделирования по готовым развёрткам.
Для начала я, конечно же, предлагаю научиться клеить обычный кубик. Развёртки сделаны для двух кубиков, большого и маленького. Более сложной фигурой является маленький кубик потому, как клеить его сложнее, чем большой.
Итак, начнём! Скачайте развёртки всех фигур на пяти листах и распечатайте на плотной бумаге. Перед тем, как печатать и клеить геометрические фигуры обязательноознакомьтесь со статьёй о том, как выбрать бумагу и как вообще правильно вырезать, сгибать и клеить бумагу.
Для более качественной печати советую использовать программу AutoCAD, и даю вамразвёртки для этой программы , а также читайте, как распечатывать из автокада . Вырежьте развёртки кубиков с первого листа, по линиям сгиба обязательно проведите иголкой циркуля под железную линейку, чтобы бумага хорошо сгибалась. Теперь можно начинать клеить кубики.
Для экономии бумаги и на всякий пожарный я сделал несколько развёрток маленького кубика, мало ли вам захочется склеить не один кубик или что-то не получится с первого раза. Ещё одна несложная фигура это пирамида, её развёртки найдёте на втором листе. Подобные пирамиды стоили древние египтяне, правда не из бумаги и не таких маленьких размеров:)
А это тоже пирамида, только в отличие от предыдущей у неё не четыре, а три грани.
Развёртки трёхгранной пирамиды на первом листе для печати.
И ещё одна забавная пирамидка из пяти граней, её развёртки на 4-ом листе в виде звёздочки в двух экземплярах.
Более сложная фигура это пятигранник, хотя пятигранник сложнее начертить, нежели склеить.
Развёртки пятигранника на втором листе.
Вот мы и добрались до сложных фигур. Теперь придётся поднапрячься, склеить такие фигуры нелегко! Для начала обычный цилиндр, его развёртки на втором листе.
А это более сложная фигура по сравнению с цилиндром, т.к. в её основании не круг, а овал.
Развёртки этой фигуры на втором листе, для овального основания сделано две запасных детали.
Чтобы аккуратно собрать цилиндр его детали нужно клеить встык. С одной стороны дно можно приклеить без проблем, просто поставьте на стол заранее склеенную трубку, положите на дно кружок и залейте клеем изнутри. Следите, чтобы диаметр трубы и круглого дна плотно подходили друг к другу, без щелей, иначе клей протечёт и всё приклеится к столу. Второй кружок приклеить будет сложнее, поэтому приклейте внутри вспомогательные прямоугольники на расстоянии толщины бумаги от края трубы. Эти прямоугольники не дадут упасть основанию внутрь, теперь вы без проблем приклеете кружок сверху.
Цилиндр с овальным основанием можно клеить также как и обычный цилиндр, но он имеет меньшую высоту, поэтому тут проще вставить внутрь гармошку из бумаги, а наверх положить второе основание и по краю приклеить клеем.
Теперь очень сложная фигура - конус. Его детали на третьем листе, запасной кружок для днища на 4-ом листе. Вся сложность склеивания конуса в его острой вершине, а потом ещё будет очень сложно приклеить дно.
Сложная и одновременно простая фигура это шар. Шар состоит из 12-ти пятигранников, развёртки шара на 4-ом листе. Сначала клеится две половинки шара, а потом обе склеиваются вместе.
Довольно интересная фигура - ромб, её детали на третьем листе.
А теперь две очень похожие, но совершенно разные фигуры, их отличие только в основании.
Когда склеите эти обе фигуры, то не сразу поймёте, что это вообще такое, они получились какие-то совсем невосприимчивые.
Ещё одна интересная фигурка это тор, только он у нас очень упрощён, его детали на 5-ом листе.
И наконец, последняя фигура из равносторонних треугольников, даже не знаю, как это назвать, но фигура похожа на звезду. Развёртки этой фигуры на пятом листе.
На сегодня это всё! Я желаю вам успехов в этой нелёгкой работе!
14 июня 2014Прямоугольник, квадрат, треугольник, трапеция и другие - геометрические фигуры из раздела точной науки. Пирамида - это многогранник. Основанием этой фигуры является многоугольник, а боковыми гранями треугольники, имеющие общую вершину, или трапеции. Для полного представления и изучения любого геометрического объекта изготавливают макеты. Используют самый разнообразный материал, из которого выполняется пирамида. Поверхность многогранной фигуры, развернутая на плоскости, называется ее разверткой. Создать макет поможет метод преобразования плоских предметов в объемные многогранники и определенные знания из геометрии. Развертки из бумаги или картона изготовить непросто. Потребуется умение выполнять чертежи по заданным размерам.
Материалы и приспособления
Моделирование и выполнение многогранных объемных геометрических фигур - интересный и захватывающий процесс. Из бумаги можно выполнить большое количество всевозможных макетов. Для работы будут необходимы:
- бумага или картон;
- ножницы;
- карандаш;
- линейка;
- циркуль;
- ластик;
- клей.
Определение параметров
Прежде всего определим, какой будет пирамида. Развертка данной фигуры является основой для изготовления объемной фигуры. Выполнение работы потребует предельной точности. При неправильном чертеже геометрическую фигуру собрать будет невозможно. Допустим, необходимо изготовить макет правильной треугольной пирамиды.
Любое геометрическое тело обладает определенными свойствами. Данная фигура имеет основанием правильный многоугольник, а ее вершина спроецирована в его центр. В качестве основания выбран равносторонний треугольник. Данное условие определяет название. Боковые ребра у пирамиды - это треугольники, количество которых зависит от выбранного для основания многогранника. В данном случае их будет три. Также важно знать размеры всех составных частей, из которых будет составлена пирамида. Развертки из бумаги выполняются в соответствии с учетом всех данных геометрической фигуры. Параметры будущей модели оговариваются заранее. От этих данных зависит выбор используемого материала.
Видео по теме
Как выполняется развертка правильной пирамиды?
Основой модели является лист бумаги или картона. Работу начинают с чертежа пирамиды. Фигура представляется в развернутом виде. Плоское изображение на бумаге соответствует заранее выбранным размерам и параметрам. Правильная пирамида имеет основанием правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Изготавливаем для начала простую модель. В данном случае - это треугольная пирамида. Определяем размеры выбранной фигуры.
Чтобы построить развертку пирамиды, основанием которой является правильный треугольник, в центре листа, используя линейку и карандаш, нарисуем основание заданных размеров. Далее к каждой его стороне вычерчиваем боковые грани пирамиды - треугольники. Теперь переходим к их построению. Размеры сторон треугольников боковой поверхности измеряем циркулем. Ножку циркуля ставим в вершину нарисованного основания и делаем засечку. Действие повторяем, перемещаясь в следующую точку треугольника. Пересечение, полученное в результате таких действий, определит вершины боковых граней пирамиды. Их соединяем с основанием. Получаем чертеж пирамиды. Для склеивания объемной фигуры на сторонах боковых граней предусматривают клапаны. Дорисовываем небольшие трапеции.
Сборка макета
Вырезаем ножницами выполненный рисунок по контуру. Аккуратно сгибаем развертку по всем линиям. Клапаны-трапеции заправляем внутрь фигуры таким образом, чтобы ее грани сомкнулись. Их смазываем клеем. Через тридцать минут клей высохнет. Объемная фигура готова.
Сначала представим, как выглядит геометрическая фигура, макет которой будем изготавливать. Основанием выбранной пирамиды является четырехугольник. Боковые ребра - треугольники. Для работы используем те же материалы и приспособления, что и в предыдущем варианте. Чертеж выполняем на бумаге карандашом. В центре листа чертим четырехугольник с выбранными параметрами.
Каждую сторону основания делим пополам. Проводим перпендикуляр, который будет являться высотой треугольной грани. Раствором циркуля, равным длине боковой грани пирамиды, делаем на перпендикулярах засечки, установив его ножку в вершину основания. Оба угла одной стороны основания соединяем с полученной точкой на перпендикуляре. В результате получаем в центре чертежа квадрат, на гранях которого нарисованы треугольники. Чтобы зафиксировать модель на боковых гранях, дорисовывают вспомогательные клапаны. Для надежного крепления достаточно полоски сантиметровой ширины. Пирамида готова к сборке.
Завершающий этап выполнения макета
Полученную выкройку фигуры вырезаем по контуру. По начерченным линиям сгибаем бумагу. Сбор объемной фигуры производят путем склеивания. Предусмотренные клапаны смазываем клеем и фиксируем полученную модель.
Объемные макеты сложных фигур
После выполнения простой модели многогранника можно перейти к более сложным геометрическим фигурам. Развертка пирамиды усеченной намного сложнее в выполнении. Ее основаниями являются подобные многогранники. Боковые грани - это трапеции. Последовательность выполнения работы будет такой же, как та, в которой изготавливалась простая пирамида. Развертка будет более громоздкой. Для выполнения чертежа используют карандаш, циркуль и линейку.
Построение чертежа
Развертка пирамиды усеченной выполняется в несколько этапов. Боковой гранью усеченной пирамиды является трапеция, а основаниями - подобные многогранники. Допустим, что это квадраты. На листе бумаги выполняем чертеж трапеции с заданными размерами. Боковые стороны полученной фигуры продлеваем до пересечения. В результате получаем равнобедренный треугольник. Его сторону измеряем циркулем. На отдельном листе бумаги строим окружность, радиусом которой будет измеренное расстояние.
Следующий этап - это построение боковых ребер, которые имеет усеченная пирамида. Развертка выполняется внутри нарисованной окружности. Циркулем измеряют нижнее основание трапеции. На окружности отмечаем пять точек, которые соединяют линии с ее центром. Получаем четыре равнобедренных треугольника. Циркулем измеряем сторону трапеции, нарисованной на отдельном листе. Данное расстояние откладываем на каждой стороне нарисованных треугольников. Полученные точки соединяем. Боковые грани трапеции готовы. Остается только нарисовать верхнее и нижнее основания пирамиды. В данном случае это подобные многогранники - квадраты. К верхнему и нижнему основаниям первой трапеции дорисовываем квадраты. На чертеже изображены все части, которые имеет пирамида. Развертка практически готова. Остается только дорисовать соединительные клапаны на сторонах меньшего квадрата и одной из граней трапеций.
Завершение моделирования
Перед склеиванием объемной фигуры чертеж по контуру вырезают ножницами. Далее развертку аккуратно сгибают по начерченным линиям. Крепежные клапаны заправляем внутрь модели. Их смазываем клеем и прижимаем к граням пирамиды. Модели даем высохнуть.
Изготовление разных моделей многогранников
Выполнение объемных моделей геометрических фигур - увлекательное занятие. Чтобы его досконально освоить, следует начинать с выполнения самых простых разверток. Постепенно переходя от простых поделок к более сложным моделям, можно приступать к созданию самых замысловатых конструкций.
Поделки с детьми. ФУТБОЛЬНЫЙ МЯЧ И МНОГОГРАННИКИ ИЗ ЦВЕТНОЙ БУМАГИ.Среди моих читателей очень много воспитателей Детских садиков и руководителей Художественных кружков, в связи с этим, я изредка публикую посты с поделками вместе с детьми и для детей.
Кстати, всем родителям хочу порекомендовать очень хорошую детскую студию "Теремок", которая существует уже два года и зарекомендовала себя одной из самых лучших студий в воспитательно-образовательной работе с детьми. "Теремок" поможет вашему малышу находить общий язык в общении со сверстниками, разовьет уважение к старшим, развлечет, устраивая праздники и конкурсы и многое-многое другое. Очень нужно, детям, с самого раннего возраста, прививать любовь к творчеству. Это вырабатывает у них любознательность, расширяет кругозор, прививает любовь к труду. В студии есть очень хороший художественный кружок по разным видам и жанрам изобразительного искусства. Подробнее о студии вы сможете узнать на сайте - http://teremok64.ru.
А сейчас, предлагаю вам занять детей и сделать вместе с ними многогранники из цветной бумаги. Это не только увлечет их, они получат первые знания в математике. Ниже, под катом, пять шаблонов на некоторые многоугольники, которые нужно распечатать и увеличить. Все очень легко и просто, вырезать, согнуть и склеить. Очень красивая гирлянда, яркая, веселая и солнечная)
Можете сделать макет футбольного мяча. Для этого, желательно, взять бумагу - поплотнее.
Во вложении, шаблон мяча в натуральную величину, состоит из восьми страниц.
Вложение:
ДОДЕКАЭДР
ИКОСАЭДР
ОКТАЭДР
ТЕТРАЭДР
Вырезать шаблоны и согнуть по пунктирным линиям
ВУАЛЯ. Можете их собрать на ниточку и сделать математическую гирлянду)
3.1 «Рождение» великого физика Д.К.Максвелла
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс, увлекшись изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: «… я сделал тетраэдр, додекаэдр и ещё два эдра, для которых не знаю правильного названия». Эти слова ознаменовали рождение в пока ничем не примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла (Приложение 3). Думаю, что и вас, и ваших родных увлечёт изготовление моделей геометрических тел.
Кроме традиционных ёлочных украшений (хлопушек и фонариков) можно изготовить геометрические игрушки. Это модели правильных многогранников, сделанные из цветной бумаги. Ведь их форма – это образец совершенства! Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства и все пять геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и звездочётов. И если потрудиться над их изучением и изготовлением, то наверняка они доставят радость и удовольствие, а возможно принесут и удачу.
3.2 Развёртки правильных многогранников
Одним из способов изготовления правильных многогранников является способ с использованием так называемых развёрток.
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета.
3.3 Способ «плетения»
Кроме изготовления многогранников с помощью развёрток есть ещё один способ, при котором они сплетаются из нескольких полосок бумаги. Без применения клея модель приобретает жёсткую структуру после того, как будет заправлен последний кусочек бумаги.
Для того чтобы сплести тетраэдр, нужно:
Плетём куб:
Если полоски разного цвета, то у получившегося куба противоположные грани одинакового цвета. Этот способ интересен тем, что любые две полоски не зацеплены одна с другой, а все три зацеплены.
Возможно, при виде моделей многогранников кто-нибудь спросит: «Какая от них польза?» На это можно ответить так: «А разве всё красивое полезно?»
3.4 Ещё один способ изготовления многогранников
Для изготовления моделей многогранников можно воспользоваться рекомендациями, данными в книге М. Винниджера «Модели многогранников». «Автор этой книги, заражая своим энтузиазмом читателя, даёт ему ясные и четкие указания о том, как изготовить модели различных многогранников. Объяснения проиллюстрированы фотографиями моделей из собрания автора – возможно, наиболее полного в настоящее время. Но фотографии не в состоянии передать всего великолепия самих моделей. Наиболее сложные «курносые» модели не только крайне трудны в изготовлении, но и весьма декоративны. Это ли не превосходный пример родства истины и красоты!» – отмечает в предисловии к книге Г.С.М. Кокстер.
М. Винниджер отмечает: «Время, которое я затратил на изготовление моделей невыпуклых однородных многогранников, в существенной степени зависело от характера модели. Так, на простейшие из них требовалось не более трех-четырех часов, а в среднем же приходилось затрачивать восемьдесят часов, а некоторые сложные модели занимали двадцать-тридцать часов. Две модели отняли у меня свыше сотни часов каждая. Теперь, когда работа завершена, я, пожалуй, соглашусь с тем, что ее объем поразил и меня. Но китайская пословица гласит: «Если ты собираешься пройти тысячу ли, начни с того, что сделай первый шаг». За первым шагом последует другой, и вскоре красота открывшихся взору путника видов заставит его забыть о трудностях пути».
Прежде чем приступить к изготовлению многогранников ниже приведённым способом, необходимо познакомиться с общими рекомендациями. (Приложение 4).
3.4.1 Тетраэдр
Все четыре грани тетраэдра – равносторонние треугольники. Четыре – это наименьшее число граней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, характерными для однородных многогранников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отделяется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетраэдра также равны между собой. Если нужно сделать модель тетраэдра разноцветной, следует приготовить развертки для каждого типа грани в виде отдельного многоугольника. Для этого понадобится всего один трафарет в виде равностороннего треугольника.
Необходимо сделать четыре заготовки разного цвета – например, Ж, С, О и К. При этом нужно оставить наклейки с каждой стороны, как показано на рисунке. Теперь склеиваем все четыре заготовки вместе, затем соединяем несклеенные боковые грани и склеиваем вначале только две из них между собой. Затем накладываем клей на оставшиеся наклейки и приклеиваем последнюю грань, как бы закрывая коробку.
Октаэдр
Так как его противоположные грани октаэдра лежат в параллельных плоскостях, то можно превосходно обойтись всего четырьмя красками. Модель этого многогранника мы начинаем делать, склеивая четыре треугольника. После того как склеим между собой грани 1 и 4, то в наших руках окажется правильная четырехугольная пирамида без квадратного основания. Эта часть составляет ровно половину модели.
Вторая половина энантиоморфна первой. Тем не менее, проще продолжить работу в такой последовательности: сначала приклеить наклейки четырех оставшихся треугольников к соответствующим наклейкам на сторонах квадратного основания. Нужно проследить, чтобы противоположные грани октаэдра имели один и тот же цвет. Затем последовательно склеить наклейки соседних граней, снова закрывая модель последним треугольником, как крышкой. Теперь можно заметить, что квадрат, только что послуживший основанием первой половины модели, на самом деле всего лишь один из трёх квадратов такого рода, которые можно видеть на полной модели. При этом ребра квадратов лежат в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.
3.4.3 Гексаэдр (куб)
Несомненно, куб, или, как его иногда называют математики,гексаэдр – самый общеизвестный и широко используемый многогранник. Все шесть его граней – квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине. Можно начать постройку модели куба, выбрав один квадрат и присоединив к нему четыре других, как показано на рисунке. Затем нужно склеить наклейки соседних боковых граней, причём склеенные попарно наклейки вновь образуют как бы жесткий скелет многогранника. Остается добавить последнюю грань, и это действие уже с полным правом можно будет уподобить закрыванию ящика крышкой.
Возможно, что в своей простоте куб не самый привлекательный многогранник. Но он обладает несколькими удивительными свойствами в отношении других Платоновых и некоторых архимедовых тел. А объединение пяти кубов можно поместить в додекаэдр, и при этом получается очень красивая модель.
Икосаэдр
Икосаэдр – одно из пяти платоновых тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединяет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние треугольники. При изготовлении модели икосаэдра можно выбрать любую из двух эффектных возможностей распределения пяти цветов. Во-первых, икосаэдр может быть раскрашен так, что у каждой вершины встретятся все пять цветов (правда, в таком случае противоположные грани не будут окрашены одинаково). Другой способ обеспечивает противоположным граням одинаковые цвета, зато у каждой вершины, за исключением двух полярных, будет повторяться по кругу один цвет. Обе раскраски очень интересны. Обе модели можно строить, исходя из одного и того же начального расположения пяти равносторонних треугольников. Они образуют невысокую пятиугольную пирамиду без основания. К сторонам её основания нужно приклеить следующие пять треугольников, руководствуясь той или иной таблицей раскраски. Между ними приклеивается по одному треугольнику – это сделать несложно, если обратить внимание на то, что в каждой вершине сходятся пять граней. Завершая модель, приклеивают последние пять треугольников. Чтобы облегчить пользование таблицами раскраски, нужно запомнить: первая строка любой таблицы задает раскраску пяти треугольников, окружающих «северную полярную» вершину икосаэдра. Последующие две строки указывают раскраску «экваториального» кольца из десяти чередующихся равносторонних треугольников. Наконец, четвертая строка показывает раскраску граней у, «южного полюса» икосаэдра.
Интересен порядок раскраски не только вблизи «полюсов», но и у других десяти вершин, то по этим таблицам его тоже легко найти. Надо совершить круговой обход по таблице по следующему правилу: начиная с двух соседних цветов в крайней строке, опуститься (или подняться) на следующую строку, затем еще на одну и после этого вернуться на исходные. Например:
Это наводит на мысль о том, что таблицы раскраски можно задавать совершенно по-иному – нумеруя вершины и выписывая порядок чередования цветов у каждой из них. Правда, это приведёт к тому, что каждая треугольная грань икосаэдра будет поименована в такой таблице трижды, но все же таблицы удобны: с их помощью легче последовательно «обклеивать» вершину. Для икосаэдра таблицы этого типа выглядят так:
Здесь указаны раскраски только шести вершин, причем вершина (0) – снова «северный полюс» икосаэдра. Для обеих моделей вершины, противоположные этим, имеют энантиоморфную раскраску. Её можно получить, читая соответствующую строку в обратном порядке, то есть справа налево.
Додекаэдр
В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди Платоновых тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит). Пожалуй, пальму первенства додекаэдр получает за свои три звездчатые формы, описываемые ниже.
Модель этого многогранника можно сделать четырёхцветной двумя способами; если же воспользоваться для раскраски шестью цветами, то противоположные грани легко сделать одноцветными. Такую раскраску хорошо перенести на упомянутые выше звездчатые формы додекаэдра. Приводим описание.
Построение модели начинается с приклеивания пяти разноцветных пятиугольников – скажем, Ж, С, О, К, 3 – к одному центральному пятиугольнику, например белого цвета (Б). После этого следует склеить цветные пятиугольники между собой – и половина дела сделана. Остаётся подклеить остальные грани додекаэдра к уже сделанной половине таким образом, чтобы противоположные грани были одноцветными.
На рисунке показана четырехцветная раскраска додекаэдра. Можно воспользоваться и энантиоморфным порядком цветов. Иногда удобнее обращаться именно к такой раскраске – особенно для моделей, имеющих симметрию додекаэдра.
Заключение
Миром красоты и гармонии мы называем правильные многогранники. Ведь на протяжении всей истории человечества эти многогранники восхищали симметрией и совершенством форм. Изображения пяти правильных многогранников – «Тела Платона», 13 полуправильных выпуклых многогранников – «Тела Архимеда» и 4-х невыпуклых многогранников – «Тела Пуансо – Кеплера» приводят пытливые умы к размышлению о красоте истин.
Подводя итоги своей работы, я могу сделать вывод: существует 5 правильных выпуклых многогранников: тетраэдр (четырёхгранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник) – Платоновы тела, 4 звездчатых правильных многогранника – тела Кеплера – Пуансо, 13 полуправильных многогранников – тела Архимеда. В работе описаны их свойства, даны развёртки для их изготовления, показано, где они встречаются в природе.
Выполняя работу, я научилась изучать литературу по названной теме, делать анализ прочитанного, выбирать нужный материал, искать ответы на возникающие вопросы, делать выводы.
При работе над рефератом «В мире правильных многогранников» я прикоснулась к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнала имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедилась, что истоки математики – в природе, окружающей нас.
В ходе данного исследования был проведён анализ определений правильных многогранников, установлены условия существования правильных многогранников, выявлены свойства правильных многогранников, сделано описание технологии их построения.
Литература
1. Александров А.Д. , Вернер А.Л. , Рыжин В.И. Начало стереометрии. – М.: Просвещение, 1981.
2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2001.
3. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия. Учебник для 7 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1992.
4. Веннинджер М. Модели многогранников. – М.: Мир, 1974.
5. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука,1972.
6. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.
7. Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия 9 – 10 класс. – М.: Просвещение, 1983.
8. Погорелов А. В. Геометрия. Учебник для 7- 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1990.
9. Савин А. П., Станцо В. В., Котова А. Ю. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М.: АСТ, 1999.
10. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
11. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. 5 – 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1999.
12. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета. №24, 2004.с. 15-32.
Приложение 1
ПЛАТОН (428 или 427 до н. э. - 348 или 347), древнегреческий философ. Ученик Сократа, ок. 387 основал в Афинах школу. Идеи (высшая среди них - идея блага) - вечные и неизменные умопостигаемые прообразы вещей, всего преходящего и изменчивого бытия; вещи - подобие и отражение идей. Познание есть анамнесис - воспоминание души об идеях, которые она созерцала до ее соединения с телом. Любовь к идее (Эрос) - побудительная причина духовного восхождения. Идеальное государство - иерархия трех сословий: правители-мудрецы, воины и чиновники, крестьяне и ремесленники. Платон интенсивно разрабатывал диалектику и наметил развитую неоплатонизмом схему основных ступеней бытия. В истории философии восприятие Платона менялось: «божественный учитель» (античность); предтеча христианского мировоззрения (средние века); философ идеальной любви и политический утопист (эпоха Возрождения). Сочинения Платона - высокохудожественные диалоги; важнейшие из них: «Апология Сократа», «Федон», «Пир», «Федр» (учение об идеях), «Государство», «Теэтет» (теория познания), «Парменид» и «Софист» (диалектика категорий), «Тимей» (натурфилософия).
ПЛАТОН (427-347 или 348 до н. э.), древнегреческий мыслитель, наряду с Пифагором, Парменидом и Сократом - родоначальник европейской философии; глава философской школы Академия.
Жизнь
Происходил из аристократической семьи, принимавшей активное участие в политической жизни Афин (род его отца Аристона, по преданию, восходил к мифическому царю Кодру; среди предков матери, Периктионы, - законодатель Солон; после победы спартанцев в Пелопоннесской войне дядя Платона, Хармид, - один из Десяти ставленников Лисандра в Пирее в 404-403, Критий - один из Тридцати тиранов в Афинах).
Получил традиционное для аристократического юноши хорошее воспитание (физическое и мусическое). В юности слушал софиста гераклитовской ориентации Кратила, в 20 лет познакомился с Сократом, начал регулярно посещать его беседы и отказался от реальной политической карьеры. Отличался крайней застенчивостью и замкнутостью.
Платон. Из «Апологии Сократа»
После смерти Сократа (399) Платон уезжает в Мегары. Принимает участие в Коринфской войне, в походах в Танагру (395) и Коринф (394). В 387 посещает Южную Италию, Локры Эпизефирские - родину древнейших записанных законов Залевка (из Локр происходит пифагореец Тимей, именем которого назван знаменитый диалог Платона, путешествие вообще задумывалось прежде всего ради знакомства с пифагорейцами). В Сицилии (Сиракуза), он знакомится с Дионом, приближенным правителя Сиракуз Дионисия I Старшего. По возвращении из Сицилии (387) основал в Афинах свою философскую школу - в гимнасии Академия. Знакомство с Дионом, попавшим под обаяние личности Платона и его образа мыслей, способствовало тому, что в 367-366 и 361 Платон совершил еще две поездки в Сицилию.
Школа Платона
Использование общественных гимнасиев для занятий науками и ораторским искусством было обычным для Афин 5-4 вв.; «школа Платона», вероятно, формировалась постепенно, по названию гимнасия она также стала именоваться Академией. Среди принадлежавших к платоновскому кружку - его племянник Спевсипп, ставший во главе Академии после смерти Платона, Ксенократ, третий схоларх Академии, знаменитый математик и астроном Евдокс Книдский, остававшийся во главе школы во время второй поездки Платона в Сицилию. В 366 в Академии появляется Аристотель и остается там вплоть до смерти Платона.
Сочинения
До нас дошло издание сочинений Платона, предпринятое пифагорейцем Трасиллом Александрийским, придворным астрологом императора Тиберия (ум. 37), разбитое на тетралогии:
«Евтифрон», «Апология», «Критон», «Федон».
«Кратил», «Теэтет», «Софист», «Политик».
«Парменид», «Филеб», «Пир», «Федр».
«Алкивиад I», «Алкивиад II», «Гиппарх», «Соперники».
«Феаг», «Хармид», «Лахет», «Лисид».
«Евтидем», «Протагор», «Горгий», «Менон».
«Гиппий Больший», «Гиппий Меньший», «Ион», «Менексен».
«Клитофонт», «Государство», «Тимей», «Критий».
«Минос», «Законы», «Послезаконие», «Письма».
Помимо этого под именем Платона дошел ряд других диалогов.
Начиная с конца 17 в., корпус текстов Платона, подвергался тщательному критическому рассмотрению с точки зрения их подлинности и хронологии.
Похожая информация.