Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:

равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности и числовые характеристики рассматриваемых функций.

Показатель	Раномерный закон распределения	Показательный закон распределения
Определение	*Равномерным называется* распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого сохраняет постоянное значение на отрезке и имеет вид	*Показательным (экспоненциальным) называется* распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью, имеющей вид
Определение		где λ – постоянная положительная величина
*Функция распределения*
*Вероятность* попадания в интервал
*Математическое ожидание*
*Дисперсия*
*Среднее квадратическое отклонение*

Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный законы распределения»

Задача 1.

Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.

Решение. 1. По условию задачи непрерывная случайная величина X={время ожидания пассажира} равномерно распределена между приходами двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7.

2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р(5 < Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Время ожидания будет не менее трех минут (т.е. от трех до семи мин.), если случайная величина Х попадает в интервал (0;4). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р(0 < Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Математическое ожидание непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: М(Х)=(a+b)/2 . М(Х) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Среднее квадратическое отклонение непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: σ(X)=√D=(b-a)/2√3 . σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Задача 2.

Показательное распределение задано при x ≥ 0 плотностью f(x) = 5e – 5x. Требуется: а) записать выражение для функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4); в) найти вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 ; г) вычислить M(X), D(X), σ(X).

Решение. 1. Поскольку по условию задано показательное распределение , то из формулы плотности распределения вероятностей случайной величины X получаем λ = 5. Тогда функция распределения будет иметь вид:

2. Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4) будем находить по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb .
P(1 < X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле: P(a < X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Находим для показательного распределения:

математическое ожидание по формуле M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
дисперсию по формуле D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
среднее квадратическое отклонение по формуле σ(Х) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

Непрерывная случайная величина $X$ подчиняется показательному (экспоненциальному) закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей $f\left(x\right)$ имеет следующий вид:

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
\lambda e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right..$$

Тогда функция распределения:

$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
1-e^{-\lambda x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$

Графики функций плотности $f\left(x\right)$ и распределения $F\left(x\right)$ представлены на рисунке:

Для показательного закона распределения числовые характеристики могут быть вычислены по известным формулам. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны между собой и равны $1/\lambda $, то есть:

$$M\left(X\right)=\sigma \left(X\right)={{1}\over {\lambda }}.$$

Дисперсия :

$$D\left(X\right)={{1}\over {{\lambda }^2}}.$$

Параметр распределения $\lambda $ в статистическом смысле характеризует среднее число событий, наступающих в единицу времени. Так, если средняя продолжительность безотказной работы прибора равна $1/\lambda $, то параметр $\lambda $ будет характеризовать среднее число отказов в единицу времени. Примерами случайных величин, подчиненных показательному закону распределения, могут быть:

Продолжительность телефонного разговора;
Затраты времени на обслуживание покупателя;
Период времени работы прибора между поломками;
Промежутки времени между появлениями автомашин на автозаправочной станции.

Пример . Случайная величина $X$ распределена по показательному закону $f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
5e^{-5x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$. Тогда математическое ожидание $=$ стандартное отклонение $\sigma (X)=1/\lambda =1/5=0,2$, дисперсия $D(X)=1/{\lambda }^2=1/25=0,04.$

Пример . Время работы прибора - случайная величина $X$, подчиненная показательному распределению. Известно, что среднее время работы данного прибора составляет $500$ часов. Какова вероятность того, что данный прибор проработает не менее $600$ часов?

Математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=500=1/\lambda $, отсюда параметр распределения $\lambda =1/500=0,002.$ Можем записать функцию распределения:

$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ x < 0\\
1-e^{-\lambda x}=1-e^{-0,002x},\ x\ge 0
\end{matrix}\right.$$

Тогда вероятность того, что прибор проработает менее $600$ часов, равна:

$$P\left(X\ge 600\right)=1-P\left(X < 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$

Экспоненциальное (показательное) распределение

Рассмотрим семейство распределений, широко используемое при принятии управленческих решений и других прикладных исследованиях - семейство экспоненциальных распределений. Проанализируем вероятностную!! модель, приводящую к таким распределениям. Для этого рассмотрим «поток событий», т.е. последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: время безотказной работы компьютерной системы, интервал между последовательными поступлениями автомобилей к стон-линии перекрестка, поток обращений клиентов в отделение банка; поток покупателей, обращающихся за товарами и услугами; поток вызовов на телефонной станции; поток отказов оборудования в технологической цепочке и т.д.

В теории потоков событий справедлива теорема суммировании потоков событий. Суммарный поток состоит из большого количества независимых частных потоков, ни один из которых не оказывает преобладающего влияния на суммарный поток. Так, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, состоит из большого числа независимых потоков вызовов, исходящих от отдельных абонентов. В случае, когда характеристики потоков не зависят от времени, суммарный поток полностью описывается одним числом X - интенсивностью потока. Для суммарного потока функция распределения случайной величины X - длины промежутка времени между последовательными событиями имеет следующий вид:

Это распределение называется экспоненциальным (показательным) распределением. В данную функцию иногда вводят параметр сдвига с.

Экспоненциальное распределение имеет только один параметр, который и определяет его характеристики. Плотность распределения имеет следующий вид:

где X - постоянная положительная величина.

График функции /(х) представлен на рис. 9.12.

Рис. 9.12.

На рис. 9.13 представлен график плотности экспоненциального распределения при разных параметрах X.

Экспоненциальное распределение характеризует распределение времени между независимыми событиям, появляющимися с постоянной интенсивностью. Экспоненциальный закон характерен для распределения случайных величин, изменение которых обусловлено влиянием какого-то доминирующего фактора. В теории надежности это распределение описывает распределение внезапных отказов, так как последние являются редкими событиями. Экспоненциальное распределение служит также для описания

Рис. 9.13. Плотность экспоненциального распределения при разных параметрах X

наработки сложных систем, прошедших период приработки, и для описания времени безотказной работы системы с большим числом последовательно соединенных элементов, каждый из которых не оказывает большого влияния на отказ системы.

Теоретические частоты для экспоненциального закона распределения определяют по формуле

где N - объем совокупности; 1г к - длина интервала; е - основание натурального логарифма; X - условные отклонения середин классов:

Рассмотрим выравнивание эмпирического распределения (табл. 9.4) по экспоненциальному закону.

Таблица 9.4

Эмпирические частоты для выравнивания распределения по экспоненциальному закону

Имеем N = 160; Ь к = 41; х = 54,59. Расчет величин условных отклонений середин классов, вспомогательных величин е _1 и теоретических частот произведен в табл. 9.5.

Таблица 95

Выравнивание эмпирических частот по экспоненциальному закону

Эмпирические данные, х	Эмпирическая частота, т	Теоретические частоты
Эмпирические данные, х	Эмпирическая частота, т

Эмпирические и теоретические частоты экспоненциального распределения изобразим графически на рис. 9.14.

Показательное распределение представляет собой частный случай распределения Вейбулла - Гнеденко (соответствующий значению параметра формы b = 1).

В исходных факторах, мы свяжем факторы 1 - 7 с факторами из раздела VI. 3 в том порядке, в котором они записаны, т. е. фактор 1 - это усечение, фактор 2 - симметрия и т. д. Затем мы свяжем уровни + и - факторов в табл. 4 с двумя уровнями факторов VI. 3 случайным образом. Этот случайный порядок был достигнут с помощью таблицы случайных чисел и сравнением этих чисел с 1/2. Результаты этой процедуры показаны в табл. 5. Совмещение табл. 4 и 5 дает план в исходных факторах, приведенный в табл. 6, где Л1, (i = 1,. .., 4) обозначают неизвестные случайные величины , имеющие экспоненциальное распределение с параметром Ьг - Ь. В качестве примера рассмотрим комбинацию 1 в табл. 6. Факторы 1 и 2 находятся на уровне + в табл. 4. Следовательно, из табл. 5 мы должны взять усеченное, асимметричное распределение с поднятыми хвостами. В табл. 1 мы видим, что это распределение - экспоненциальное распределение случайной величины х. Фактор 6 находится на уровне

В нашем случае для технологических изделий объективные причины не позволяют пользоваться этими законами распределения . Во-первых, условием получения нормального закона являются совместные действия множества случайных факторов , ни один из которых не является доминирующим. Этому не соответствуют условия эксплуатации и выбраковки изделий технологического назначения, где обязательно фигурируют доминирующие факторы. Во-вторых, для экспоненциального закона обязательны условия ординарности, стационарности и последействия, которые зачастую не выполняются для этих изделий. В частности, поток отказов их нельзя считать стационарным вследствие меняющегося во времени вероятностного режима его.

Такая информация отражает сложившиеся условия производственных процессов и поэтому является выборкой из генеральной совокупности . На основании закона больших чисел можно утверждать, что если генеральная совокупность подчиняется определенному закону распределения , то и выборка из этой совокупности при достаточно большом ее объеме будет подчиняться этому закону. Чаще всего этот закон неизвестен, и определение его вызывает значительные трудности. В таких случаях предпочтение отдается хорошо известным законам распределения , чаще всего-экспоненциальному и нормальному.

Под словом случайно будем понимать, что вероятность прибытия на АЗС одного автомобиля за любой малый промежуток времени , начинающийся в произвольный момент времени / и имеющий длину т, с точностью до пренебрежимо малых величин пропорциональна т с некоторым коэффициентом пропорциональности X > 0. Величину К можно интерпретировать как среднее число автомобилей, появляющихся на станции за единицу времени, а обратную ей величину 1Л, - как среднее время появления одного автомобиля. Вероятность того, что за этот промежуток времени не прибудет ни одного автомобиля, считается приблизительно равной 1 - т, а вероятность прибытия двух или более автомобилей - величиной, пренебрежимо малой по сравнению со значением Ял. Из выдвинутых предположений можно получить следующие выводы. Во-первых, промежутки времени / между двумя последовательными прибытиями автомобилей удовлетворяют экспоненциальному распределению

Потери, возникающие в результате работы средств автоматизации за этот промежуток, могут быть подсчитаны на основе использования теории надежности, согласно которой внезапные отказы определяются как выход системы из строя вследствие возникновения непредвиденных, внезапных концентраций внешних нагрузок и внутренних напряжений, превышающих расчетные. Если часть элементов и соединений изготовлена или отремонтирована некачественно, то они будут отказывать при более низких нагрузках. Поэтому отказы дефектных элементов распределяются экспоненциально (рассматривается пуассоновский характер распределения внезапных выходов из строя), со средней наработкой в несколько раз меньшей, чем у остальных элементов.

Экспоненциальное распределение. Этому распределению, как правило, подчиняются наработки внезапных отказов (т. е. отказов вследствие скрытых дефектов технологии) и распределение времени между двумя последовательными отказами, если изделия работают в установившемся режиме .

Рассмотрим случай, когда исследуемый параметр распределен по экспоненциальному закону.

Я. Б. Шор дает следующую формулу для определения доверительного интервала для генеральной средней в случае распределения случайной величины по экспоненциальному закону

Несмотря на кажущуюся необременительность условий, при которых получено последнее выражение, в теоретическом отношении для ряда интересных случаев они оказываются невыполнимыми. Это происходит, когда производная g (x) в точке х = v обращается в бесконечность. В частности, так обстоят дела с двусторонним экспоненциальным распределением, с которым мы уже встречались в примерах 2 и 3 из . В одном варианте построения оптимального

В этой главе мы рассмотрим наиболее употребительные законы распределения случайных величин , а также основные параметры этих законов. Будут даны методы поиска функции распределения вероятности случайной величины в случае неинтегрируемой плотности вероятности , а также алгоритмы получения последовательностей случайных величин с произвольным законом распределения , что необходимо при моделировании случайных процессов . Особое внимание будет уделено обобщенному экспоненциальному распределению, которое наиболее пригодно при изучении ценообразования активов.

Одним из важнейших распределений, встречающихся в статистике, является нормальное распределение (распределение Гаусса), относящееся к классу экспоненциальных. Плотность вероятности этого распределения

Еще одним типом экспоненциального распределения, наряду с нормальным, является распределение Лапласа , плотность которого выражается формулой

Обобщенное экспоненциальное распределение.

Выше в этой главе были рассмотрены два вида экспоненциальных распределений Гаусса и Лапласа. У них много общего они симметричны, зависят от двух параметров (//, сг),

В VI. 2 мы коротко опишем ММР и цель эксперимента, т. е. изучение чувствительности ММР к нарушению его предпосылок. В VI.3 мы подробно обсудим различные факторы, которые могут влиять на эту чувствительность. Ненормальность распределения мы определим как фактор 1. Этот фактор описывает возможность или невозможность для случайных величин стать меньше заданной константы (так называемый фактор усеченное распределения) асимметрию и хвосты распределения мы примем фактором 2. Комбинируя факторы 1 и 2, мы выберем четыре типа распределений (экспоненциальное, Эрланга, взвешенную разность двух случайных величин с экспоненциальным распределением и сумму разностей случайных величин с экспоненциальным распределением). Неоднородность дисперсий будет обозначена как фактор 3. Это означает, что дисперсия наилучшей генеральной совокупности (afki) может быть либо больше, либо меньше дисперсии конкурирующей худшей совокупности (при наименее благоприятной ситуации). Фактор 4 измеряет, сильно ли различаются или не различаются вовсе эти две дисперсии. Фактор 5 показывает, являются ли дисперсии худших генеральных совокупностей (в наименее благоприятной ситуации) равными или они все различны. Фактор 6 определяет число совокупностей (три или семь) фактор 7 определяет расстояние 8 = 6 между наилучшей и следующей за ней совокупностями в наименее благоприятной ситуации . Фактор Р, гарантирующий минимальное значение вероятности правильного выбора, рассматривается

Такая информация является выборкой из генеральной, совокупности, имеющей определенный закон распределения . Чащевсе-го этот закон неизвестен и определение его вызывает зиждительные трудности. В таких случаях предпочтение отдается х >ошо известным законам распределения , чаще всего - экспоненциальному и нормальному.

законов распределения . В частности, при b = 1 он превращается в экспоненциальный закон , при b = 2 - в закон Релея, при b - = 3,25 - близок к нормальному. Зто обстоятельство позволяет использовать один и тот математический аппарат при исследовании самых различных потоков отказов изделий. Кроме того, этот

В ряде исследований утверждается, что для отказов технических изделий вследствие износа, усталости, коррозии и старения вполне удовлетворительным будет нормальный или логарифмически нормальный закон распределения , в случае же внезапных отказов, возникающих вследствие случ-айных перегрузок, аварий и т. д., подходит экспоненциальный закон распределения .

Универсальность данного закона объясняется тем, что при различных значениях параметра b он приближается к ряду законов распределения . В частности, при Ь = он превращается в экспоненциальный закон , при 6=2 - в закон Релея, при Ь = = 3,25 - близок к нормальному.

В данном примере мы рассмотрели самый простой случай пуассоновский входной поток , экспоненциальное время обслуживания , одна обслуживающая установка. На самом деле, в реальности, и распределения бывают значительно сложнее, и АЗС включают в себя большее число бензоколонок. Для того чтобы упорядочить классификацию систем массового обслуживания , американский математик Д. Кен-далл предложил удобную систему обозначений, широко распространившуюся к настоящему времени. Тип системы массового обслуживания Кендалл обозначил с помощью трех символов, первый из которых описывает тип входного потока , второй - тип вероятностного описания системы обслуживания , а третий - количество обслуживающих приборов. Символом М он обозначал пуассоновское распределение входного потока (с экспоненциальным распределением интервалов между заявками), этот же символ применялся и для экспоненциального распределения продолжительности обслуживания. Таким образом, описанная и изученная в этом параграфе система массового обслуживания имеет обозначение М/М/1. Система M/G/3, например, расшифровывается как система с пуассоновским входным потоком , общей (по-английски - general) функцией распределения времени обслуживания и тремя обслуживающими устройствами. Встречаются и другие обозначения D -детерминированное распределение интервалов между поступлением заявок или длительностей обслуживания, Е - распределение Эрланга порядка п и т. д.

На основе изложенных здесь методов построения последовательностей случайных чисел с различными распределениями можно построить процедуры randl и rand2, использовавшиеся в программе на языке алгол для расчетов по модели автозаправочной станции . Если используемые случайные интервалы между автомобилями и продолжительности обслуживания имеют экспоненциальное распределение, то лучше использовать метод обратных функций , а если некоторое эмпирическое распределение, то - метод, основанный на запоминании дискретных значений в оперативной памяти ЭВМ.

Перейдем к описанию времени обслуживания автомобиля. Поскольку водители берут разное количество бензина и различаются между собой по сноровке, то время обслуживания вряд ли можно считать постоянным. Пусть вероятность того, что обслуживание автомобиля, находящегося на заправке в любой момент t, будет завершено в малом интервале U, f + rJ, приблизительно равна JLIT, где и > 0. Вероятность того, что обслуживание за этот промежуток времени не закончится, считается приблизительно равной 1 - цт, а вероятность того, что будет закончено обслужи-. ванне двух и более автомобилей, - пренебрежимо малой величиной. Тогда

Отметим здесь основные понятия и формулы, связанные с показательным распределением непрерывной случайной величины $X$ не вдаваясь в подробности их вывода.

Определение 1

Показательным или экспоненциальным распределения непрерывной случайной величины $X$ называется распределение, плотность которого имеет вид:

Рисунок 1.

График плотности показательного распределения имеет вид (рис. 1):